편미분 방정식

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1. 개요

편미분 방정식은 매끄러운 다양체에서 정의되는 미분 방정식의 일종으로, 미지 함수와 그 편도함수를 포함한다. 편미분 방정식은 최고 계수에 따라 계수가 분류되며, 미지 함수와 도함수에 대한 선형성에 따라 선형 및 비선형 방정식으로 구분된다. 또한, 계수 행렬의 고유값 부호에 따라 타원형, 포물형, 쌍곡형으로 분류되며, 각 유형은 고유한 특성을 보인다. 편미분 방정식은 변수 분리법, 특성곡선법, 적분 변환, 변수 변환, 기본해, 중첩 원리 등 다양한 해석적 해법과 수치적 해법을 통해 풀 수 있다. 수치적 해법으로는 유한 차분법, 유한 요소법, 유한 체적법, 신경망 등이 사용된다. 편미분 방정식 연구는 해의 존재성, 유일성, 정칙성 등을 탐구하며, 잘 정의된 문제, 정칙성, 약한 해 등의 개념이 중요하다. 주요 편미분 방정식으로는 열 방정식, 파동 방정식, 슈뢰딩거 방정식 등이 있으며, 물리학, 유체 역학, 상대성 이론 등 다양한 분야에서 활용된다.

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편미분 방정식
개요
유형	편미분 방정식
분야	수학, 물리학, 공학
기본 정보
변수	독립 변수 종속 변수
일반 형태	F(x₁, ..., xₙ, u, ∂u/∂x₁, ..., ∂²u/∂x₁∂x₂, ...) = 0
표기법	u(x, y) uₓ, uyy ∂u/∂x, ∂²u/∂y²
예시
대표적인 편미분 방정식	열 방정식 파동 방정식 라플라스 방정식 푸아송 방정식 헬름홀츠 방정식 클라인-고든 방정식 코시-리만 방정식 버거스 방정식 나비에-스토크스 방정식 오일러-트리코미 방정식
응용	유체 역학 탄성 전자기학
풀이 방법
해석적 방법	특성 곡선 변수 분리 적분 변환 (푸리에 변환, 라플라스 변환) 중첩 원리
수치적 방법	유한 차분법 유한 요소법 유한 체적법

2. 정의

'''편미분 방정식'''(Partial Differential Equation|편미분 방정식^영어, PDE)은 여러 개의 독립 변수를 가진 미지의 함수와 그 함수의 편미분으로 이루어진 미분 방정식이다. 즉, 함수가 시간, 공간 좌표 등 여러 변수에 따라 변할 때, 그 변화율 사이의 관계를 나타내는 식이라고 할 수 있다.

예를 들어, 세 변수 $x, y, z$ 에 대한 함수 $u(x, y, z)$ 가 라플라스 방정식

: $\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2u}{\partial z^2}=0$

을 만족할 때, 이 함수 $u$ 를 조화 함수라고 부른다. 조화 함수는 고전역학에서 균질한 고체의 평형 온도 분포를 나타내는 등 다양한 물리 현상을 설명하는 데 사용된다. 주어진 함수가 조화 함수인지 확인하는 것은 비교적 간단한 계산 문제이지만, 라플라스 방정식의 해는

: $u(x,y,z) = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 2x + y^2 + z^2 + 1}}$

와

: $u(x,y,z) = 2x^2 - y^2 - z^2$

처럼 매우 다른 형태를 가질 수 있다. 이는 라플라스 방정식과 같은 많은 편미분 방정식에는 상미분 방정식(ODE)처럼 모든 해를 아우르는 "일반 해 공식"이 존재하지 않음을 보여준다.

상미분 방정식의 해는 보통 몇 개의 상수를 매개변수로 가지는 형태로 표현되지만, 편미분 방정식에 대해서는 경계 조건 등을 만족하는 해를 구하는 과정에서 임의의 함수가 해의 형태로 나타나는 경우가 많다. 예를 들어, 두 변수 $x, y$ 에 대한 함수 $v(x, y)$ 가 다음 편미분 방정식을 만족한다고 하자.

: $\frac{\partial^2v}{\partial x\partial y}=0$

이 방정식의 해는 임의의 일변수 함수 $f$ 와 $g$ 를 사용하여 $v(x, y) = f(x) + g(y)$ 형태로 나타낼 수 있다. 이처럼 편미분 방정식의 해는 상미분 방정식의 해보다 훨씬 더 큰 자유도를 가지는 경우가 많다.

이러한 해의 다양성 때문에 편미분 방정식을 연구할 때는 해의 존재 및 유일성 정리가 매우 중요하다. 이 정리는 주어진 조건(예: 경계 조건)을 만족하는 해가 존재하는지, 존재한다면 유일한지를 밝혀주어 해의 성질을 이해하는 데 핵심적인 역할을 한다.

편미분 방정식은 자연 과학의 여러 분야에서 기본적인 도구로 사용된다. 유체 역학, 열역학, 전자기학, 양자역학, 일반 상대성 이론 등 다양한 물리 현상을 기술하는 모델의 핵심을 이루며, 비행 시뮬레이션, 컴퓨터 그래픽스, 일기 예보 등 실용적인 문제 해결에도 활용된다. 또한, 경제학, 특히 금융 공학 분야에서도 중요한 역할을 한다.

2. 1. 기본 형태

M

과

N

이 매끄러운 다양체라고 할 때, '''편미분 방정식'''은 다음과 같은 형태를 가지는 미분 방정식의 일종이다.

:

F(x,u,\nabla_iu,\nabla_i\nabla_ju,\dots,\nabla_{i_1}\cdots\nabla_{i_k}u)=0

:

x\in M,\;u\colon M\to N

여기서 사용된 미분 연산자의 최고 차수

k

를 편미분 방정식의 '''계수'''(order^영어)라고 하며, 이러한 방정식을 '''

k

계 편미분 방정식'''이라고 부른다. 만약 함수

u

의 공역인 다양체

N

이 2차원 이상이라면 이를 '''연립 편미분 방정식'''이라 하고,

N

이 1차원이라면 '''비연립 편미분 방정식'''이라고 한다.

다른 관점에서 보면, 편미분 방정식은

n\geq 2

개의 변수를 가지는 미지의 함수와 그 함수의 편도함수들을 포함하는 방정식으로 정의할 수도 있다. 즉,

\mathbb{R}^n

의 열린 부분 집합

U

에 속하는 변수

x = (x_1,\dots,x_n)

를 갖는 미지 함수

u : U \rightarrow \mathbb{R}

에 대해,

k

계 편미분 방정식은 다음과 같이 표현된다.

:

F(D^{k} u, D^{k-1}u,\dots, D u, u, x)=0

여기서

F

는

\mathbb{R}^{n^{k}}\times \mathbb{R}^{n^{k-1}}\dots \times \mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R} \times U

에서

\mathbb{R}

로 가는 함수이며,

D

는 편미분 연산자를 나타낸다.

2. 2. 표기법

편미분 방정식을 작성할 때, 아래첨자를 사용하여 편미분을 나타내는 것이 일반적이다. 예를 들어 다음과 같다.

u_x = \frac{\partial u}{\partial x},\quad u_{xx} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2},\quad u_{xy} = \frac{\partial^2 u}{\partial y\, \partial x} = \frac{\partial}{\partial y } \left(\frac{\partial u}{\partial x}\right).

일반적으로

u

가

n

변수의 함수인 경우,

u_i

는

i

번째 변수에 대한 1차 편미분을,

u_{ij}

는

i

번째 및

j

번째 변수에 대한 2차 편미분을 나타내며, 이는 계속된다.

그리스 문자

\Delta

는 라플라스 연산자를 나타낸다.

u

가

n

변수의 함수인 경우,

\Delta u = u_{11} + u_{22} + \cdots + u_{nn}.

물리학 문헌에서는 라플라스 연산자를 종종

\nabla^2

로 나타낸다. 수학 문헌에서는

\nabla^2 u

가

u

의 헤세 행렬을 나타낼 수도 있다.

다음과 같이 미지 함수

\psi

의 변수

x

에 관한 편미분을

\psi_x

와 같이 나타내기도 한다.

:

\psi_x := {\partial \psi \over \partial x},

:

\psi_{xy} := {\partial^2 \psi \over \partial y\, \partial x}.

또한 특별한 언급이 없는 한 변수는 시간

t

와 3차원 공간

(x, y, z)

으로 하지만, 수학적으로는 일반적인 차원으로 확장할 수 있다.

3. 분류

편미분 방정식(PDE)은 여러 독립 변수를 갖는 함수의 편도함수를 포함하는 미분 방정식이다.^[1]^[2] 상미분 방정식(ODE)과 달리 해가 단순히 몇 개의 상수로 결정되지 않고, 임의의 함수를 선택하는 자유도를 포함하는 경우가 많다. 예를 들어, $\frac{\partial^2v}{\partial x\partial y}=0$ 의 해는 $v(x, y) = f(x) + g(y)$ 형태로, 임의의 함수 $f$ 와 $g$ 를 포함한다.

이러한 해의 다양성 때문에 편미분 방정식을 이해하고 해를 구하기 위해서는 방정식의 성질에 따른 분류가 중요하다. 특히, 해의 존재성과 유일성을 논의하고 적절한 초기 조건이나 경계 조건을 설정하기 위해 분류가 필요하다.

편미분 방정식은 주로 다음과 같은 기준에 따라 분류된다.

'''선형성''': 방정식이 미지 함수와 그 도함수들에 대해 선형인지 여부로 분류한다. 선형 방정식은 해의 중첩 원리가 성립하는 중요한 특징을 가진다. 비선형 방정식은 선형성의 정도에 따라 반선형, 준선형, 완전 비선형 등으로 더 세분화된다.^[4] 일반 상대성 이론의 아인슈타인 방정식이나 유체 역학의 나비에-스토크스 방정식과 같이 물리학의 중요한 많은 방정식들이 비선형이다. (상세 내용은 하위 섹션 참조)

'''방정식의 형태 및 차수''': 방정식에 포함된 최고차 도함수의 차수와 형태에 따라 분류한다. 특히 2차 편미분 방정식은 그 형태에 따라 중요한 분류가 이루어진다. 두 개의 독립 변수를 갖는 일반적인 2차 선형 편미분 방정식 $Au_{xx} + 2Bu_{xy} + Cu_{yy} + \cdots = 0$ 은 계수 ''A'', ''B'', ''C''로 구성된 판별식 $B^2 - AC$ 의 부호에 따라 다음과 같이 분류된다.^[5]
'''타원형 편미분 방정식''' ( $B^2 - AC < 0$ ): 라플라스 방정식이 대표적이며, 해는 영역 내부에서 매끄러운 경향이 있다.
'''포물선형 편미분 방정식''' ( $B^2 - AC = 0$ ): 열 방정식이 대표적이며, 확산 과정처럼 시간이 지남에 따라 해가 매끄러워진다.
'''쌍곡선형 편미분 방정식''' ( $B^2 - AC > 0$ ): 파동 방정식이 대표적이며, 초기 조건의 불연속성이 파동처럼 전파된다.

독립 변수가 더 많은 경우에도 최고차항 계수 행렬의 고윳값 부호를 기준으로 유사하게 분류할 수 있으며, '''초쌍곡선형'''(ultrahyperbolic) 같은 유형도 존재한다.^[6] 이러한 분류는 방정식의 해의 정성적 성질을 예측하고, 적절한 해석 방법이나 수치 해법을 선택하는 데 중요한 지침을 제공한다.^[5] (상세 내용은 하위 섹션 참조)

3. 1. 선형 및 비선형 방정식

편미분 방정식은 미지 함수와 그 도함수들에 대해 선형인지 여부에 따라 분류될 수 있다.

'''선형 편미분 방정식'''은 미지 함수와 그 도함수들에 대해 선형인 방정식을 말한다. 즉, 만약 ''u''₁과 ''u''₂가 선형 편미분 방정식의 해이고 ''c''₁과 ''c''₂가 상수라면, ''c''₁''u''₁ + ''c''₂''u''₂ 또한 같은 방정식의 해가 된다 (중첩 원리). 예를 들어, ''x''와 ''y'' 변수에 대한 함수 ''u''의 2차 선형 편미분 방정식은 일반적으로 다음과 같은 형태를 가진다:

a_1(x,y)u_{xx} + a_2(x,y)u_{xy} + a_3(x,y)u_{yx} + a_4(x,y)u_{yy} + a_5(x,y)u_x + a_6(x,y)u_y + a_7(x,y)u = f(x,y)

여기서 계수 ''a_i''와 우변의 ''f''는 독립 변수 ''x''와 ''y''에만 의존하는 함수이다. 만약 모든 계수 ''a_i''가 상수이면, 이 방정식은 '''상수 계수를 갖는 선형 편미분 방정식'''이라고 불린다. 만약 ''f''가 모든 점에서 0이면 '''동차(homogeneous) 선형 편미분 방정식'''이라 하고, 그렇지 않으면 '''비동차(non-homogeneous) 선형 편미분 방정식'''이라고 한다. 라플라스 방정식

\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2u}{\partial z^2}=0

은 동차 선형 편미분 방정식의 대표적인 예이다.

선형 편미분 방정식에 가장 가까운 유형으로 '''반선형(semilinear) 편미분 방정식'''이 있다. 이는 최고차 도함수 항들은 선형이고 그 계수들이 독립 변수만의 함수이지만, 낮은 차수의 도함수 항들과 미지 함수 자체는 비선형적으로 나타날 수 있는 경우이다. 예를 들어, 두 변수에 대한 일반적인 2차 반선형 편미분 방정식 형태는 다음과 같다:

a_1(x,y)u_{xx} + a_2(x,y)u_{xy} + a_3(x,y)u_{yx} + a_4(x,y)u_{yy} + f(u_x, u_y, u, x, y) = 0

'''준선형(quasilinear) 편미분 방정식'''에서는 최고차 도함수 항들이 여전히 선형적으로 나타나지만, 그 계수들이 미지 함수 ''u''나 낮은 차수의 도함수들에 의존할 수 있다. 일반적인 2차 준선형 편미분 방정식의 형태는 다음과 같다:

a_1(u_x, u_y, u, x, y)u_{xx} + a_2(u_x, u_y, u, x, y)u_{xy} + a_3(u_x, u_y, u, x, y)u_{yx} + a_4(u_x, u_y, u, x, y)u_{yy} + f(u_x, u_y, u, x, y) = 0

물리학의 많은 기본적인 편미분 방정식, 예를 들어 일반 상대성 이론의 아인슈타인 장 방정식이나 유체 역학의 나비에-스토크스 방정식이 준선형 방정식에 해당한다.

어떤 선형성 속성도 가지지 않는, 즉 하나 이상의 최고차 도함수에 대해 비선형성을 가지는 편미분 방정식을 '''완전 비선형(fully nonlinear) 편미분 방정식'''이라고 한다. 미분기하학에서 나타나는 몽주-앙페르 방정식이 그 예이다.^[4] 예를 들어 다음 방정식은 제곱근과 제곱 항 때문에 완전 비선형이다.

\frac{\partial}{\partial x} \frac{\frac{\partial u}{\partial x}}{\sqrt{1 + \left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^2}} +\frac{\partial}{\partial y} \frac{\frac{\partial u}{\partial y}}{\sqrt{1 + \left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^2}}=0

선형, 반선형, 준선형 2차 편미분 방정식은 최고차항 계수의 판별식

B^2 - AC

(여기서 방정식은

Au_{xx} + 2Bu_{xy} + Cu_{yy} + \cdots = 0

형태로 표현됨)의 부호에 따라 타원형 (

B^2 - AC < 0

), 포물선형 (

B^2 - AC = 0

), 또는 쌍곡선형 (

B^2 - AC > 0

)으로 분류될 수 있다. 이 분류는 방정식의 해의 성질과 적절한 초기/경계 조건 설정에 중요한 지침을 제공한다.^[5]

주요 비선형 편미분 방정식의 다른 예로는 다음이 있다:

유체 흐름을 기술하는 나비에-스토크스 방정식
일반 상대성 이론의 아인슈타인 장 방정식
비선형 파동을 기술하는 KdV 방정식 및 mKdV 방정식 (이러한 방정식들은 적분 가능계에서도 연구되고 있다.)
클레로 방정식
비선형 슈뢰딩거 방정식

3. 2. 계수에 따른 분류

1계 편미분 방정식은 대체로 '''특성곡선법'''을 사용하여 풀 수 있다. 매끄러운 다양체

M

위의 일반적인 (비연립) 1계 편미분 방정식은 다음과 같은 꼴이다.

:

F(x,u,\partial u/\partial x)=0\qquad(x\in M,\;u(x)\in\mathbb R)

여기서

u_{x_i}=\partial u/\partial x_i

이다. 이 경우, 임의의 해

u(s)=u(x^i(s))

는 특정 상미분 방정식을 만족시키며, 이 상미분 방정식을 풀어서 편미분 방정식의 해들을 찾을 수 있다.

매끄러운 다양체

M

위의 일반적인 (비연립) 2계 편미분 방정식은 일반적으로 다음과 같은 꼴이다.

:

Q(\nabla_i\nabla_ju,x)+F(\nabla_iu,u,x)=0\qquad(x\in M,\;u(x)\in\mathbb R)

여기서

Q\colon M\to\operatorname{Sym}^2TM

는

M

의 각 점에 실수 이차 형식을 정의한다. 이 이차 형식은 실베스터 관성법칙에 따라 고윳값들의 부호에 따라서 분류할 수 있다. 어떤 주어진 점

x\in M

에서:

만약 $Q_x$ 의 모든 고윳값들이 양수라면, 이 2계 편미분 방정식을 '''타원형 편미분 방정식'''(elliptic partial differential equation^영어)이라고 한다. 대표적인 예는 라플라스 방정식 $u_{yy}+u_{xx}=0$ 이다.
만약 $Q_x$ 의 모든 고윳값들이 음이 아닌 실수이며, 0인 고윳값이 존재한다면, 이 2계 편미분 방정식을 '''포물선형 편미분 방정식'''(parabolic partial differential equation^영어)이라고 한다. 대표적인 예는 열 방정식 $u_t-u_{xx}=0$ 이다.
만약 $Q_x$ 가 음의 고윳값을 갖는다면, 이 2계 편미분 방정식을 '''쌍곡형 편미분 방정식'''(hyperbolic partial differential equation^영어)이라고 한다. 대표적인 예는 파동 방정식 $u_{tt}-u_{xx}=0$ 이다.

타원형, 포물형, 쌍곡형 방정식들은 각각 뚜렷하게 다른 성질을 보인다.

편미분 방정식은 미지수와 그 도함수에 대해 선형이면 '''선형'''이라고 한다. 예를 들어,

x

와

y

의 함수

u

에 대해 2차 선형 편미분 방정식은 다음과 같은 형태를 갖는다.

a_1(x,y)u_{xx} + a_2(x,y)u_{xy} + a_3(x,y)u_{yx} + a_4(x,y)u_{yy} + a_5(x,y)u_x + a_6(x,y)u_y + a_7(x,y)u = f(x,y)

여기서 계수

a_i

와

f

는 독립 변수

x

와

y

만의 함수이다. 만약 계수

a_i

가 상수(

x

와

y

에 의존하지 않음)라면, 편미분 방정식은 '''상수 계수를 갖는 선형'''이라고 한다. 만약

f

가 모든 곳에서 0이면, 선형 편미분 방정식은 '''동차'''이고, 그렇지 않으면 '''비동차'''이다.

'''준선형''' 편미분 방정식은 최고차 도함수 항이 선형이지만, 그 계수가 미지 함수

u

및 그 저차 도함수의 함수일 수 있는 경우를 말한다. 두 변수의 일반적인 2차 준선형 편미분 방정식은 다음과 같다.

a_1(u_x, u_y, u, x, y)u_{xx} + a_2(u_x, u_y, u, x, y)u_{xy} + a_3(u_x, u_y, u, x, y)u_{yx} + a_4(u_x, u_y, u, x, y)u_{yy} + f(u_x, u_y, u, x, y) = 0

물리학의 많은 기본적인 편미분 방정식, 예를 들어 일반 상대성 이론의 아인슈타인 방정식과 유체 운동을 설명하는 나비에-스토크스 방정식은 준선형이다.

어떤 선형성 속성도 없는 편미분 방정식은 '''완전 비선형'''이라고 하며, 하나 이상의 최고차 도함수에 비선형성을 가진다. 예로는 미분 기하학에서 발생하는 몽주-앙페르 방정식이 있다.^[4]

2계 편미분 방정식의 타원형/포물선형/쌍곡선형 분류는 적절한 초기- 및 경계 조건과 해의 매끄러움에 대한 지침을 제공한다.

u_{xy} = u_{yx}

를 가정하면, 두 개의 독립 변수를 가진 일반적인 선형 2차 편미분 방정식은 다음과 같은 형태를 갖는다.

Au_{xx} + 2Bu_{xy} + Cu_{yy} + \cdots \mbox{(낮은 차수 항)} = 0,

여기서 계수

A, B, C, \dots

는

x

와

y

에 의존할 수 있다. 이 형태는 원뿔 곡선 방정식

Ax^2 + 2Bxy + Cy^2 + \cdots = 0

과 유사하다.

원뿔 곡선을 판별식

B^2 - AC

(여기서는

xy

항의 계수를

2B

로 표기하는 관례에 따라

B^2 - 4AC

가 아닌

B^2 - AC

를 사용)에 따라 포물선형, 쌍곡선형, 타원형으로 분류하는 것과 마찬가지로, 2차 편미분 방정식도 주어진 점에서 동일하게 분류할 수 있다.

#

B^2 - AC < 0

('''타원형 편미분 방정식'''): 타원형 편미분 방정식의 해는 방정식과 해가 정의된 영역의 내부에서 계수가 허용하는 만큼 매끄럽다. 예를 들어, 라플라스 방정식의 해는 정의된 영역 내에서 해석적이다. 변수 변환을 통해 방정식은

u_{xx} + u_{yy} + \cdots = 0

형태로 표현될 수 있다.^[5]

#

B^2 - AC = 0

('''포물선형 편미분 방정식'''): 포물선형 편미분 방정식은 독립 변수 변경을 통해 열 방정식과 유사한 형태

u_{xx} + \cdots = 0

(예:

u_t - u_{xx} + \cdots = 0

)로 변환될 수 있다. 해는 변환된 시간 변수가 증가함에 따라 매끄러워진다.^[5]

#

B^2 - AC > 0

('''쌍곡형 편미분 방정식'''): 쌍곡형 편미분 방정식은 초기 데이터의 함수 또는 도함수의 불연속성을 유지한다. 예로는 파동 방정식이 있다. 변수 변환을 통해 방정식은

u_{xx} - u_{yy} + \cdots = 0

형태로 표현될 수 있다.^[5]

만약

n

개의 독립 변수

x_1, x_2, \dots, x_n

가 있다면, 일반적인 선형 2차 편미분 방정식은 다음과 같은 형태를 갖는다.

L u =\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{i,j} \frac{\partial^2 u}{\partial x_i \partial x_j} \quad+ \text{낮은 차수 항} = 0.

이 분류는 계수 행렬

a_{i,j}

의 고윳값의 부호에 따라 달라진다.

'''타원형''': 고윳값은 모두 양수이거나 모두 음수이다.
'''포물선형''': 고윳값은 모두 양수 또는 모두 음수이며, 하나는 0이다.
'''쌍곡선형''': 음의 고윳값은 하나만 있고 나머지는 모두 양수이거나, 양의 고윳값은 하나만 있고 나머지는 모두 음수이다.
'''초쌍곡선형''': 양의 고윳값이 두 개 이상이고 음의 고윳값도 두 개 이상이며, 0인 고윳값은 없다.^[6]

타원형, 포물선형, 쌍곡선형 방정식 이론은 수세기 동안 연구되어 왔으며, 주로 라플라스 방정식, 열 방정식, 그리고 파동 방정식의 표준 예제를 중심으로 이루어졌다. 이 분류는 2차 항의 선형성에만 의존하므로, 준선형 편미분 방정식에도 적용될 수 있다. 오일러-트리코미 방정식과 같이 영역의 다른 부분에서 유형이 변하는 하이브리드 유형도 존재한다.

편미분 방정식의 분류는 1차 방정식 시스템으로 확장될 수 있다. 여기서 미지수

u

는 이제

m

개의 구성 요소를 가진 벡터이며, 계수 행렬

A_\nu

는

m \times m

행렬 (

\nu = 1, 2, \dots, n

)이다. 편미분 방정식은 다음 형식을 취한다.

Lu = \sum_{\nu=1}^{n} A_\nu \frac{\partial u}{\partial x_\nu} + B=0,

여기서 계수 행렬

A_\nu

및 벡터

B

는

x

및

u

에 따라 달라질 수 있다. 초곡면

S

가

\varphi(x_1, \dots, x_n)=0

형태로 주어지면,

S

는 다음 조건을 만족할 때 연산자

L

에 대한 '''특성 표면'''이다.

Q\left(\frac{\partial\varphi}{\partial x_1}, \ldots, \frac{\partial\varphi}{\partial x_n}\right) = \det\left[\sum_{\nu=1}^n A_\nu \frac{\partial \varphi}{\partial x_\nu}\right] = 0.

만약

S

에서

u

의 데이터와 미분 방정식으로부터

S

에서

u

의 법선 미분을 결정할 수 없다면, 표면은 '''특성'''이다.

1차 시스템 $Lu = 0$ 는 $L$ 에 대해 특성 표면이 없으면 '''타원형'''이다.
1차 시스템은 특정 조건을 만족하는 '''공간형''' 표면 $S$ 가 존재하면 해당 점에서 '''쌍곡선형'''이다. 이는 특성 형식 $Q(\zeta) = 0$ 이 정의하는 법선 원뿔의 기하학적 성질과 관련된다. 만약 특정 조건 하에서 방정식 $Q(\lambda\xi + \eta) = 0$ 의 근 $\lambda$ 가 항상 구별되면 시스템은 '''엄격한 쌍곡선형'''이다.

3. 3. 2계 편미분 방정식의 상세 분류

매끄러운 다양체

M

위에서 정의된 일반적인 2계 편미분 방정식은 다음과 같은 형태를 가진다.

:

Q(\nabla_i\nabla_ju,x)+F(\nabla_iu,u,x)=0\qquad(x\in M,\;u(x)\in\mathbb R)

여기서

Q

는

M

의 각 점

x

에 실수 이차 형식

Q_x

를 정의한다. 이 이차 형식의 고윳값 부호에 따라 2계 편미분 방정식을 분류할 수 있다. 특정 점

x \in M

에서 다음과 같이 분류된다.

타원형 편미분 방정식 (elliptic partial differential equation^영어): $Q_x$ 의 모든 고윳값이 0이 아니며 부호가 모두 같은 경우. 대표적인 예로 라플라스 방정식 $u_{yy}+u_{xx}=0$ 이 있다.
포물선형 편미분 방정식 (parabolic partial differential equation^영어): $Q_x$ 의 고윳값 중 0인 값이 존재하고, 나머지 0이 아닌 고윳값들의 부호가 모두 같은 경우. 대표적인 예로 열 방정식 $u_t-u_{xx}=0$ 이 있다.
쌍곡선형 편미분 방정식 (hyperbolic partial differential equation^영어): $Q_x$ 가 양수 고윳값과 음수 고윳값을 모두 갖는 경우. 대표적인 예로 파동 방정식 $u_{tt}-u_{xx}=0$ 이 있다.

이 세 가지 유형의 방정식은 서로 다른 특징을 보이며, 적절한 초기 조건 및 경계 조건 설정과 해의 매끄러움에 중요한 영향을 미친다.

두 개의 독립 변수

x, y

를 가지는 일반적인 선형 2차 편미분 방정식은

u_{xy} = u_{yx}

를 가정할 때 다음과 같은 형태로 쓸 수 있다.

:

Au_{xx} + 2Bu_{xy} + Cu_{yy} + \cdots \mbox{(낮은 차수 항)} = 0

여기서 계수 ''A'', ''B'', ''C'' 등은 ''x''와 ''y''에 따라 달라질 수 있다. 이 방정식은 원뿔 곡선의 방정식

Ax^2 + 2Bxy + Cy^2 + \cdots = 0

과 유사한 형태를 가진다.

원뿔 곡선을 판별식

B^2 - AC

(원래 이차 형식 판별식은

(2B)^2 - 4AC = 4(B^2 - AC)

이지만, 편의상

4

를 생략)을 이용하여 분류하는 것처럼, 2차 편미분 방정식도 주어진 점에서 같은 방식으로 분류할 수 있다.

1. $B^2 - AC < 0$ (타원형 편미분 방정식): 해는 방정식과 해가 정의된 영역 내부에서 매우 매끄럽다 (계수가 허용하는 한). 예를 들어, 라플라스 방정식의 해는 영역 내부에서 해석적이다. 아음속 유체 운동은 타원형 편미분 방정식으로 근사될 수 있다. 오일러-트리코미 방정식은

x < 0

인 영역에서 타원형이다. 적절한 변수 변환을 통해

u_{xx} + u_{yy} + \cdots = 0

형태로 만들 수 있다.^[5] 대표적인 예시는 다음과 같다.

'''라플라스 방정식''': $\Delta \psi = \psi_{xx} + \psi_{yy} + \psi_{zz} = 0$ . 델 연산자 $\nabla$ 또는 라플라스 연산자 $\Delta$ 를 사용하여 ${\nabla}^2 \psi = 0$ 또는 $\Delta \psi = 0$ 으로 표기하기도 한다. 해는 '''조화 함수'''라 불리며, 중력장이나 정전기장 같은 물리적 벡터장의 포텐셜을 나타낸다.
'''푸아송 방정식''': $\nabla^2 \psi = f(x,y,z)$ . 라플라스 방정식을 일반화한 형태로, 질량이나 전하와 같이 장의 발생원이 있는 경우의 전위를 기술한다.^[14]
'''헬름홀츠 방정식''': $(\nabla^2 + k^2) \psi = 0$ . 전자기파의 방사, 지진학, 음향학 등에서 사용된다.

2. $B^2 - AC = 0$ (포물선형 편미분 방정식): 모든 점에서 포물선형인 방정식은 변수 변환을 통해 열 방정식과 유사한 형태

u_{xx} + \cdots = 0

으로 변환될 수 있다. 해는 변환된 시간 변수가 증가함에 따라 매끄러워진다. 오일러-트리코미 방정식은

x = 0

인 선에서 포물선형이다.^[5] 대표적인 예시는 다음과 같다.

'''열확산 방정식''': $u_t = k\nabla^2\psi = k (\psi_{xx} + \psi_{yy} + \psi_{zz})$ . 주어진 영역에서 시간에 따라 변화하는 장(예: 온도장(열전도 방정식), 물질 농도장(피크의 제2법칙))을 기술한다. 상수 $k$ 는 물질의 특성(열전도율, 확산 계수 등)을 나타낸다. 해는 시간이 지남에 따라 점차 균일해지는 경향을 보인다.

3. $B^2 - AC > 0$ (쌍곡선형 편미분 방정식): 초기 데이터의 함수 또는 도함수의 불연속성을 그대로 유지하며 전파시킨다. 초음속 유체 운동은 쌍곡선형 편미분 방정식으로 근사될 수 있다. 오일러-트리코미 방정식은

x > 0

인 영역에서 쌍곡선형이다. 적절한 변수 변환을 통해

u_{xx} - u_{yy} + \cdots = 0

형태로 만들 수 있다.^[5] 대표적인 예시는 다음과 같다.

'''파동 방정식''': $\psi_{tt} = c^2 \nabla^2 \psi = c^2 (\psi_{xx} + \psi_{yy} + \psi_{zz})$ . 빛이나 음파와 같은 파동 현상을 기술하며, 상수 $c$ 는 파동의 속도를 나타낸다. 현의 진동이나 북 표면의 진동 등도 이 방정식으로 설명된다. 해는 기본적으로 정현파들의 중첩으로 표현될 수 있다.^[15]^[16]

독립 변수가

n

개 (

x_1, x_2, \dots, x_n

)인 경우, 일반적인 선형 2차 편미분 방정식은 다음과 같다.

:

L u =\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{i,j} \frac{\partial^2 u}{\partial x_i \partial x_j} \quad+ \text{낮은 차수 항} = 0.

이 경우 분류는 계수 행렬

a_{i,j}

의 고윳값 부호에 따라 결정된다.

타원형: 모든 고윳값이 0이 아니며 부호가 같다.
포물선형: 고윳값 중 하나만 0이고, 나머지는 모두 0이 아니며 부호가 같다.
쌍곡선형: 고윳값 중 하나만 부호가 다르고, 나머지는 모두 부호가 같다 (0인 고윳값은 없음).
초쌍곡선형 (ultrahyperbolic^영어): 양수인 고윳값이 두 개 이상이고 음수인 고윳값도 두 개 이상이며, 0인 고윳값은 없다.^[6]

이러한 분류는 방정식의 2차 항에만 의존하므로, 비선형 편미분 방정식 중 일부(준선형, 반선형)에도 적용될 수 있다. 또한, 오일러-트리코미 방정식과 같이 정의된 영역의 부분에 따라 유형이 변하는 혼합형 방정식도 존재한다.

3. 4. 1계 편미분 방정식 시스템

편미분 방정식의 분류는 1계 방정식 시스템으로 확장될 수 있다. 여기서 미지수 ''u''는 ''m''개의 구성 요소를 가진 벡터이고, 계수 행렬 ''A_ν''는 ''ν'' = 1, 2, …, ''n''에 대해 ''m'' × ''m'' 행렬이다. 이 시스템은 다음과 같은 형식을 가진다.

Lu = \sum_{\nu=1}^{n} A_\nu \frac{\partial u}{\partial x_\nu} + B=0

여기서 계수 행렬 ''A_ν''와 벡터 ''B''는 변수 ''x''와 ''u''에 따라 달라질 수 있다.

만약 초곡면 ''S''가 다음과 같은 암시적 형태로 주어진다면,

\varphi(x_1, x_2, \ldots, x_n)=0

여기서 ''φ''는 0이 아닌 기울기(gradient)를 가진다. 이때 ''S''는 주어진 점에서 미분 연산자 ''L''에 대한 '''특성 표면'''(characteristic surface)이며, 이는 다음 특성 형식(characteristic form) ''Q''가 0이 되는 조건으로 정의된다.

Q\left(\frac{\partial\varphi}{\partial x_1}, \ldots, \frac{\partial\varphi}{\partial x_n}\right) = \det\left[\sum_{\nu=1}^n A_\nu \frac{\partial \varphi}{\partial x_\nu}\right] = 0

이 조건의 기하학적 의미는 다음과 같다. 만약 벡터 ''u''에 대한 데이터가 표면 ''S'' 위에 주어졌을 때, 편미분 방정식으로부터 ''S'' 위에서 ''u''의 법선 방향 미분(normal derivative)을 결정할 수 있는지 여부로 특성 표면을 판단할 수 있다.

만약 표면 ''S''의 데이터와 편미분 방정식을 통해 ''S'' 위에서 ''u''의 법선 미분을 결정할 수 있다면, ''S''는 비특성(non-characteristic)이다.
만약 표면 ''S''의 데이터와 편미분 방정식을 통해 ''S'' 위에서 ''u''의 법선 미분을 결정할 수 없다면, 그 표면은 '''특성'''(characteristic)이며, 편미분 방정식은 ''S'' 위의 데이터 자체에 제약을 가한다. 즉, 방정식은 표면 ''S''에 '내재적'이다.

1계 편미분 방정식 시스템 ''Lu'' = 0은 특성 표면의 존재 여부에 따라 다음과 같이 분류된다.

# '''타원형'''(''elliptic''): 시스템 ''L''에 대해 특성 표면이 존재하지 않는 경우이다. 즉, 어떤 표면 ''S''를 선택하든, ''S'' 위에서의 ''u'' 값과 편미분 방정식을 통해 항상 ''S'' 위에서 ''u''의 법선 미분을 결정할 수 있다.

# '''쌍곡선형'''(''hyperbolic''): 어떤 점에서, 법선 벡터 ''ξ''를 갖는 공간형(space-like) 표면 ''S''가 존재하는 경우이다. 이는 ''ξ''에 수직인 임의의 0이 아닌 벡터 ''η''와 임의의 스칼라 계수 ''λ''에 대해, 방정식 ''Q''(''λξ'' + ''η'') = 0이 ''m''개의 실수 해 ''λ''₁, ''λ''₂, …, ''λ''_''m''를 가짐을 의미한다. 만약 이 해들이 항상 서로 다르다면, 시스템은 '''엄격한 쌍곡선형'''(''strictly hyperbolic'')이라고 한다.

쌍곡선형 조건의 기하학적 해석은 다음과 같다. 특성 형식 ''Q''(''ζ'') = 0은 동차 좌표 ''ζ''를 갖는 원뿔, 즉 법선 원뿔(normal cone)을 정의한다. 쌍곡선형 시스템의 경우, 이 원뿔은 ''n''개의 시트(sheet)를 가지며, 축 ''ζ'' = ''λξ''는 이 시트들의 내부에 놓인다 (즉, 시트와 교차하지 않는다). 하지만 원점에서 벡터 ''η''만큼 이동한 축은 모든 시트와 교차하게 된다. 반면, 타원형 시스템의 경우 법선 원뿔은 실수 상의 시트를 가지지 않는다.

4. 해석적 해법

편미분 방정식의 해를 구하는 방법은 크게 해석적 해법과 수치적 해법으로 나뉜다. 해석적 해법은 방정식을 수학적으로 분석하여 해를 명시적인 함수 형태로 구하는 것을 목표로 하며, 주로 선형 편미분 방정식에 대해 많은 연구가 이루어졌다.

매끄러운 다양체 $M$ 에서 벡터 공간 $V$ 로 가는 함수 $u\colon M\to V$ 에 대한 '''선형 편미분 방정식'''은 다음과 같은 일반적인 형태를 가진다.

: $c_0(x)u(x)+c_1^i(x)\nabla_iu(x)+c_2^{ij}(x)\nabla_i\nabla_ju(x)+\cdots+c_k^{i_1\cdots i_k}(x)\nabla_{i_1}\cdots\nabla_{i_k}u(x)=0$

이는 $M$ 위의 $V$ 값을 갖는 매끄러운 함수들의 벡터 공간 $\mathcal C^\infty(M,V)$ 위에 정의된 선형작용소 $T$ 에 대한 고윳값 0의 고유벡터 $u(x)$ 를 찾는 문제와 같다. 이러한 선형성을 바탕으로 함수해석학과 작용소 이론의 도구를 활용할 수 있다.

편미분 방정식의 해를 논의할 때는 해의 존재성과 유일성이 중요한 문제가 된다. 상미분 방정식과 달리 편미분 방정식의 해는 단순히 몇 개의 상수를 결정하는 것을 넘어 임의의 함수를 포함하는 경우가 많다. 예를 들어, $\frac{\partial^2v}{\partial x\partial y}=0$ 의 해는 임의의 함수 ''f''와 ''g''를 사용하여 $v(x, y) = f(x) + g(y)$ 형태로 표현된다. 따라서 주어진 초기 조건이나 경계 조건을 만족하는 해가 존재하는지, 그리고 유일하게 존재하는지를 밝히는 존재 및 유일성 정리는 편미분 방정식 연구에서 핵심적인 부분을 차지한다. 이러한 정리는 해의 성질을 이해하고 수치 시뮬레이션을 수행할 때 어떤 데이터를 지정해야 하는지 결정하는 데 필수적이다.

선형 편미분 방정식을 푸는 대표적인 해석적 기법은 다음과 같다. 각 기법에 대한 자세한 내용은 하위 섹션에서 다룬다.

변수 분리법: 변수를 분리하여 상미분 방정식으로 변환하는 방법.^[7]
특성선법: 주로 1계 편미분 방정식을 특성 곡선을 따라 상미분 방정식으로 변환하는 방법.
적분 변환: 푸리에 변환 등을 이용하여 방정식을 대수 방정식 등으로 변환하는 방법.^[22]
변수 변환: 방정식을 더 간단하거나 이미 알려진 형태로 바꾸는 방법.^[8]
기본해: 점원에 대한 해를 이용하고 합성곱을 통해 일반 해를 구하는 방법.
중첩 원리: 선형 방정식에서 해들의 선형 결합 역시 해가 된다는 원리.

1870년대 소푸스 리는 미분 방정식의 대칭성을 연구하여 리 군 이론을 발전시켰고, 이는 해를 찾거나 방정식의 구조를 이해하는 데 활용된다.

반면, 비선형 편미분 방정식은 일반적으로 적용 가능한 해석적 해법이 매우 드물다. 특정 조건 하에서 해의 존재성과 유일성을 증명하거나 해의 정성적 속성을 분석하는 연구가 주를 이룬다. 코시-코발레프스키 정리 등이 대표적이다. 특수한 경우 특성선법^[9], h-원리, 섭동 분석, 호모토피 해석 방법^[10]^[11] 등이 사용될 수 있으나, 많은 실제 문제 해결에는 수치 해석 기법이 필수적으로 요구된다.

4. 1. 변수 분리법

선형 편미분 방정식은 변수 분리법이라는 중요한 기법을 통해 상미분 방정식 시스템으로 축소될 수 있다. 이 기법은 미분 방정식 해의 특징, 즉 방정식의 해를 구하고 경계 조건을 만족하는 해를 찾으면 그것이 유일한 해라는 점에 기반한다. 변수 분리법에서는 해가 각 변수에만 의존하는 함수들의 곱으로 표현될 수 있다고 가정하고, 이 가정을 통해 문제를 해결한다.^[7]

변수 분리법을 적용하면, 주어진 편미분 방정식은 변수가 더 적은 여러 개의 편미분 방정식으로 분리되며, 각 방정식은 단일 변수에 대한 상미분 방정식 형태가 되어 풀이가 용이해진다.

이 방법은 주로 변수 분리 가능 편미분 방정식이라 불리는 특정 유형의 간단한 편미분 방정식에 적용 가능하며, 해당 영역(domain)은 일반적으로 직사각형(구간의 곱) 형태이다. 변수 분리 가능 편미분 방정식은 대각 행렬과 유사한 성질을 지닌다. 고정된 x 값에 대한 함수 값을 좌표로 간주하면, 각 좌표(변수)를 독립적으로 다룰 수 있다는 점에서 비유할 수 있다.

변수 분리법은 특성선법으로 일반화될 수 있으며, 적분 변환 기법에서도 활용된다.

한편, 선형 편미분 방정식은 해를 기저 함수의 선형 결합으로 전개하여 근사적으로 푸는 경우도 많다. 예를 들어, 정현파 함수를 이용한 푸리에 급수 전개가 대표적이다.^[22] 이렇게 얻어진 개별 해들의 선형 결합 역시 원래 방정식의 해가 된다. 특히, 선형 편미분 방정식이 변수 분리가 가능한 구조를 가질 경우, 변수 분리법을 통해 더 낮은 차원의 미분 방정식 문제로 변환하여 풀 수 있다.

그러나 비선형 미분 방정식에 대해서는 일반적으로 적용 가능한 해법 이론이 부족하여, 대부분의 경우 해석적인 방법으로는 풀기 어렵다. (물론, 솔리톤 방정식에 대한 히로타 방법^[23] 등 특정 유형에 대한 해법은 존재한다.)

다른 접근법으로는, 풀고자 하는 편미분 방정식을 풀이가 쉬운 방정식에서 약간 변형된 형태로 간주하여 해를 섭동적인 전개를 통해 근사적으로 구하는 방법이 있다. 또한, 유한 차분법^[24]^[25]이나 유한 요소법^[26]^[27]^[28]과 같은 수치적인 근사 해법도 널리 사용된다. 해석적으로 풀기 어려운 많은 과학 및 공학 문제는 이러한 근사 기법을 통해 대규모 수치 계산 문제로 변환되어 컴퓨터를 이용해 해결된다.^[29]^[30]^[31]

4. 2. 특성곡선법

1계 편미분 방정식은 대체로 '''특성곡선법'''을 사용하여 풀 수 있다. 매끄러운 다양체

M

위의 일반적인 (비연립) 1계 편미분 방정식은 다음과 같은 형태를 가진다.

:

F(x,u,\partial u/\partial x)=0\qquad(x\in M,\;u(x)\in\mathbb R)

여기서

u_{x_i}=\partial u/\partial x_i

는

u

를

x_i

에 대해 편미분한 것을 의미한다. 이 경우, 임의의 해

u(s)=u(x^i(s))

는 다음과 같은 상미분 방정식을 만족시킨다.

:

\frac{\dot x_i}{\partial F/\partial(\partial u/\partial x_i)}=-\frac1{\partial F/\partial x_i+(\partial u/\partial x^i)\partial F/\partial u}\dot p^i=\frac{\dot u}{\sum_ip_i(\partial F/\partial p_i)}

따라서, 이 상미분 방정식을 풀어서 편미분 방정식의 해들을 찾을 수 있다.

2차원 공간에서의 특성 곡면은 '''특성 곡선'''이라고 불린다. 특별한 경우, 1계 편미분 방정식을 상미분 방정식으로 축소시키는 특성 곡선을 찾을 수 있다. 이 곡선을 따라 좌표계를 변환하여 곡선들을 직선화하면 변수 분리가 가능해지는데, 이러한 방법을 특성선법이라고 한다.

더 일반적으로, 고차원에서의 1계 편미분 방정식에 이 방법을 적용하면 특성 곡면을 찾을 수 있다.

4. 3. 적분 변환

적분 변환은 편미분 방정식을 더 간단한 형태로, 특히 분리 가능한 편미분 방정식으로 변환하는 데 사용될 수 있다. 이는 연산자를 대각화하는 과정과 유사하다.

푸리에 해석은 이러한 변환의 중요한 예시 중 하나이다. 푸리에 해석은 정현파의 고유 기저를 이용하여 열 방정식과 같은 편미분 방정식을 대각화한다.

해를 구하려는 영역의 특성에 따라 다른 종류의 푸리에 변환이 사용된다. 영역이 유한하거나 주기적인 경우에는 푸리에 급수를 이용하여 해를 무한 합의 형태로 나타내는 것이 적절하다. 반면, 영역이 무한한 경우에는 푸리에 적분을 사용하여 해를 적분 형태로 나타내는 것이 일반적이다. 예를 들어, 열 방정식에서 점원(point source)에 대한 해를 구할 때 푸리에 적분이 사용된다.^[22]

4. 4. 변수 변환

편미분 방정식은 적절한 변수 변환을 통해 해를 구하기 더 쉬운 형태나 이미 해가 알려진 형태로 바꾸는 경우가 많다. 복잡한 방정식을 다루기 쉬운 형태로 변환하여 해를 찾는 유용한 방법이다.

예를 들어, 금융 공학에서 옵션 가격 결정에 사용되는 블랙-숄즈 방정식은 다음과 같다.

\frac{\partial V}{\partial t} + \tfrac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS \frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0

이 방정식은 복잡해 보이지만, 적절한 변수 변환을 통해 물리학 등에서 잘 알려진 열 방정식 형태로 바꿀 수 있다.^[8] 변수 변환은 다음과 같이 이루어진다.

\begin{align}V(S,t) &= v(x,\tau),\\[5px]x &= \ln\left(S \right),\\[5px]\tau &= \tfrac{1}{2} \sigma^2 (T - t),\\[5px]v(x,\tau) &= e^{-\alpha x-\beta\tau} u(x,\tau).\end{align}

여기서 V는 옵션 가격, S는 기초자산 가격, t는 시간, σ는 변동성, r은 무위험 이자율, T는 만기 시간이다. α와 β는 특정 상수를 나타낸다.

이 변환을 적용하면 블랙-숄즈 방정식은 다음과 같은 간단한 열 방정식으로 변환된다.

\frac{\partial u}{\partial \tau} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}

열 방정식은 해가 잘 알려져 있으므로, 변환된 방정식의 해 u를 구한 뒤 다시 원래 변수로 되돌리면(역변환) 원래 블랙-숄즈 방정식의 해 V를 얻을 수 있다. 이처럼 변수 변환은 복잡한 편미분 방정식을 더 다루기 쉬운 형태로 바꾸어 해를 구하는 데 유용하게 사용된다.

4. 5. 기본해

비동차 편미분 방정식은 기본해(Fundamental Solution)를 이용하여 해를 구하는 경우가 많다. 기본해란 특정 지점, 즉 점원(point source)에서의 입력(

P(D)u=\delta

형태)에 대한 방정식을 만족시키는 해를 의미한다. 이렇게 구한 기본해에 주어진 경계 조건을 적용하고 합성곱(Convolution) 연산을 하면 방정식의 일반적인 해를 얻을 수 있다. 특히, 계수가 상수인 편미분 방정식의 경우에는 이 방법을 통해 항상 해를 구할 수 있다.

이러한 접근 방식은 신호 처리 분야에서 특정 필터의 전체적인 특성을 파악하기 위해 아주 짧은 순간의 입력 신호에 대한 반응, 즉 임펄스 응답을 이용하는 것과 유사한 원리라고 볼 수 있다.

4. 6. 중첩 원리

'''선형''' 편미분 방정식(PDE)은 동차인 경우, 두 해의 합도 해가 되고, 해에 임의의 상수를 곱한 것도 해가 되는 성질을 가진다.

중첩 원리는 이러한 선형성을 기반으로 하며, 편미분 방정식의 선형 시스템을 포함한 모든 선형 시스템에 적용된다. 이 원리에 따르면, 만약

u_1

과

u_2

가 어떤 함수 공간에서 주어진 선형 편미분 방정식의 해라면, 임의의 상수

c_1

과

c_2

에 대해 이들의 선형 결합인

:

u = c_1 u_1 + c_2 u_2

역시 같은 함수 공간에서 해당 편미분 방정식의 해가 된다.

이 개념은 예를 들어 위상이 같은 두 파동이 상호 작용하여 더 큰 진폭의 파동을 만드는 현상으로 시각화될 수 있다 (

\sin x + \sin x = 2 \sin x

). 해가 실수 또는 복소수 값을 가지며 덧셈 연산이 정의되는 편미분 방정식에서도 동일한 원리가 관찰된다.

중첩 원리는 선형 편미분 방정식을 푸는 데 유용하게 활용된다. 예를 들어, 해를 기저 함수(정현파 함수 등)의 선형 결합으로 나타내는 푸리에 급수^[22]와 같은 방법으로 방정식을 풀 때, 각 기저 함수에 대한 해를 구한 뒤 이들을 선형 결합하여 전체 해를 구성할 수 있다. 전개된 개별 해의 선형 결합 역시 원래 방정식의 해가 되기 때문이다.

4. 7. 비선형 편미분 방정식의 해법

비선형 편미분 방정식은 일반적으로 적용 가능한 해석적 해법이 존재하지 않는다. 그럼에도 불구하고 코시-코발레프스키 정리와 같은 해의 존재 및 유일성에 대한 결과는 종종 얻을 수 있으며, 해의 중요한 질적 및 양적 속성에 대한 증명도 가능하다. 이러한 결과를 얻는 것은 해석학의 주요 연구 분야 중 하나이다.

일반적인 해법은 없지만, 특정 유형의 비선형 편미분 방정식에 적용할 수 있는 몇 가지 기법들이 존재한다.

해석적 방법 (특수한 경우):
특성선법: 매우 특별한 경우에 사용될 수 있다.^[9]
h-원리: 부정계 시스템 방정식을 푸는 데 가장 강력한 방법 중 하나이다.
리키에-자네 이론: 많은 해석적 과잉 결정 시스템에 대한 정보를 얻는 효과적인 방법이다.
히로타 방법: 솔리톤 방정식과 같은 특정 유형의 비선형 방정식 풀이에 표준적으로 사용된다.^[23]

근사 해법:
섭동 분석: 해를 이미 알고 있는 방정식에서 약간 변형된 형태의 방정식의 해를 근사적으로 구할 때 사용된다.
급수 전개 방법: Adomian 분해 방법^[10], 랴푸노프의 인위적인 작은 매개변수 방법, 호모토피 섭동 방법 등이 있다. 이들은 더 일반적인 호모토피 해석 방법^[11]의 특수한 경우로 볼 수 있다. 이러한 방법들은 (랴푸노프 방법을 제외하고) 기존의 섭동 이론과 비교했을 때 작은 물리적 매개변수에 의존하지 않아 해의 유연성과 일반성을 더 확보할 수 있다는 장점이 있다.
수치 해석: 해석적인 해를 구하기 어려울 때 컴퓨터를 이용하여 근사해를 구하는 방법이다. 간단한 유한 차분법^[24]^[25]부터 시작하여 보다 발전된 멀티그리드법 및 유한 요소법^[26]^[27]^[28] 등이 널리 사용된다. 과학 및 공학 분야의 많은 중요한 문제들은 이러한 수치 해석 기법을 통해 해결되며, 때로는 고성능 슈퍼컴퓨터가 동원되기도 한다.^[29]^[30]^[31] 컴퓨터 성능 향상과 더불어 효율적인 근사법 및 수치 해법 개발 연구가 지속적으로 이루어지고 있다.

5. 수치적 해법

해석적인 방법으로 편미분 방정식의 해를 구하기 어렵거나 불가능한 경우, 또는 문제가 매우 복잡할 때 수치적 해법을 사용하여 근사해를 구한다. 널리 사용되는 수치 해법으로는 유한 요소법(FEM), 유한 체적법(FVM), 유한 차분법(FDM) 등이 있다.

이들 중 유한 요소법(FEM)은 특히 두각을 나타내며, 고효율 고차 버전인 hp-FEM 등이 주목받고 있다.^[12]^[13] 기존 방법의 한계를 보완하기 위해 무격자 방법 등이 개발되었고, FEM과 무격자 방법을 결합한 일반화 유한 요소법(GFEM), 확장 유한 요소법(XFEM), 스펙트럼 유한 요소법(SFEM), 무격자 유한 요소법, 불연속 갈레르킨 방법(DGFEM), 요소 자유 갈레르킨 방법(EFGM), 보간 요소 자유 갈레르킨 방법(IEFGM) 같은 다양한 하이브리드 기법들도 사용된다.

유한 차분법(FDM)은 도함수를 유한 차분으로 근사하는 방식이며, 유한 체적법(FVM)은 각 격자점을 둘러싼 '유한 체적'에서의 물리량 보존을 중요하게 다루는 방법이다. 최근에는 딥 러닝 기술을 활용한 신경망 기반의 해법 연구 또한 활발히 이루어지고 있다.

5. 1. 유한 차분법 (FDM)

유한 차분법(eng, FDM)은 미분 방정식을 근사적으로 풀기 위한 수치적 방법 중 하나이다. 이 방법은 도함수를 유한 차분 방정식으로 근사하는 방식으로 작동한다.^[24]^[25] 즉, 편미분 방정식을 컴퓨터로 풀 수 있는 대수 방정식의 형태로 변환하여 해를 구한다.

편미분 방정식을 푸는 방법에는 여러 가지가 있다. 선형 편미분 방정식의 경우, 해를 기저 함수의 선형 결합으로 나타내거나(예: 정현파 함수를 이용한 푸리에 급수 전개^[22]), 변수 분리법을 사용하여 더 간단한 문제로 바꾸어 풀기도 한다.

하지만 비선형 편미분 방정식은 일반적으로 적용 가능한 해법 이론이 부족하여 해석적으로 풀기 어려운 경우가 많다. 물론, 호모토피 원리나 히로타 방법^[23]과 같이 특정 유형의 비선형 방정식에 적용 가능한 해법도 존재한다. 또한, 방정식을 쉽게 풀 수 있는 형태에서 약간 변형된 것으로 보고 섭동 전개를 이용해 근사해를 구하는 방법도 있다.

이처럼 해석적인 방법으로 해를 구하기 어려운 많은 과학 및 공학 문제에서는 유한 차분법과 같은 수치적 근사 해법이 사용된다. 대표적인 수치 해법으로는 유한 차분법과 유한 요소법(FEM)^[26]^[27]^[28] 등이 있다. 이러한 기법들은 편미분 방정식을 컴퓨터로 계산할 수 있는 대규모 대수 방정식 문제로 변환한다.^[29]^[30]^[31] 이러한 수치 해법은 방대한 데이터와 계산량을 요구하므로, 컴퓨터 성능 향상과 함께 효율적인 근사법 및 수치 해법 개발이 꾸준히 진행되어 왔다.

5. 2. 유한 요소법 (FEM)

유한 요소법(FEM)(실질적인 적용은 종종 유한 요소 해석(FEA)으로 알려져 있음)은 편미분 방정식(PDE)과 적분 방정식의 근사 해를 구하기 위한 수치 기법 중 하나이다.^[12]^[13] 이 방법은 해를 구하고자 하는 전체 영역을 여러 개의 작은 요소(element)로 나누고, 각 요소 안에서 해를 나타내는 비교적 간단한 함수(예: 다항식)들을 조합하여 전체 영역에서의 근사 해를 구하는 원리를 사용한다.

유한 요소법의 해법은 크게 두 가지 접근 방식을 기반으로 한다. 첫 번째는 미분 방정식을 대수 방정식 형태로 변환하여 직접 푸는 방식이며, 주로 시간에 따라 변하지 않는 정상 상태 문제에 적용된다. 두 번째는 시간에 따라 변하는 문제에 대해, 편미분 방정식을 시간에 대한 상미분 방정식들의 시스템으로 근사한 뒤, 오일러 방법이나 룬게-쿠타 방법과 같은 표준적인 수치 적분 기법을 사용하여 시간에 따른 해의 변화를 계산하는 방식이다.

선형 편미분 방정식의 경우, 해를 특정 기저 함수들의 선형 결합으로 표현하여 근사 해를 구하는 방법이 자주 사용된다. 예를 들어, 삼각 함수를 기저 함수로 사용하는 푸리에 급수 전개가 대표적이다.^[22] 또한, 방정식의 구조가 특정 조건을 만족하면 변수 분리법을 이용하여 문제를 더 간단한 여러 개의 저차원 문제로 나누어 풀 수도 있다.

하지만 비선형 편미분 방정식은 일반적인 해법 이론이 정립되어 있지 않아 해석적인 방법, 즉 수학 공식을 이용하여 정확한 해를 구하기가 매우 어렵다. 물론 호모토피 원리를 이용한 해법이나, 솔리톤과 같은 특정 유형의 비선형 파동을 다루는 방정식에 대한 히로타 방법 등 일부 특수한 해법이 존재하기도 한다.^[23]

이처럼 해석적인 해법을 적용하기 어려운 많은 문제에 대해 유한 요소법과 같은 수치적 근사 해법이 필수적으로 사용된다. 유한 차분법^[24]^[25] 역시 널리 사용되는 수치 기법이며, 때로는 해를 기존에 알려진 해에서 약간 변형된 형태로 가정하고 그 차이를 계산하는 섭동적인 방법을 사용하기도 한다.^[26]^[27]^[28]

과학 및 공학 분야에서 발생하는 복잡한 문제들 중 상당수는 해석적으로 풀 수 없어, 이러한 근사 기법을 통해 문제를 수많은 작은 계산 단계로 나누는 이산화 과정을 거친다. 이렇게 변환된 대규모 수치 계산 문제는 컴퓨터를 이용하여 해결하며^[29]^[30]^[31], 컴퓨터 성능의 발전과 함께 더욱 효율적인 근사 방법과 수치 해법의 개발이 지속적으로 이루어지고 있다. 특히 유한 요소법은 복잡한 기하학적 형상을 가진 영역이나 다양한 종류의 경계 조건이 주어진 문제를 해결하는 데 강점을 가진다. 유한 요소법을 이해하고 활용하는 데에는 경계 조건(예: 디리클레 경계 조건, 노이만 경계 조건), 편미분 방정식의 유형 분류(쌍곡형, 포물형, 타원형), 변수 분리법, 푸리에 해석, 그린 함수 등의 개념이 관련된다.

5. 3. 유한 체적법 (FVM)

유한 차분법이나 유한 요소법과 유사하게, 유한 체적법(Finite Volume Method, FVM)은 계산 영역을 격자(mesh)로 나누고 이산적인 위치에서 값을 계산하는 수치 해석 기법이다. "유한 체적"이란 격자 내의 각 절점(node point)을 둘러싸는 작은 체적(volume)을 의미한다.

유한 체적법은 특히 보존 법칙(conservation law)을 기반으로 하는 편미분 방정식을 풀 때 유용하다. 발산 정리를 이용하여 방정식 내 발산 항(divergence term)을 포함하는 면적분을 체적분으로 변환한다. 이후 각 유한 체적의 표면을 통해 드나드는 유량(flux)을 계산한다. 어떤 유한 체적으로 들어오는 유량은 반드시 인접한 유한 체적에서 나가는 유량과 같아야 하므로, 이 방법은 물리량(예: 질량, 에너지, 운동량)의 보존을 자연스럽게 만족시킨다는 장점이 있다. 이러한 특성 때문에 전산 유체 역학(CFD) 등 다양한 공학 문제 해결에 널리 사용된다.

5. 4. 신경망

최근 딥 러닝 기술, 특히 물리학 정보 신경망(PINNs, Physics-informed neural networks)과 같은 신경망 모델을 사용하여 편미분 방정식(PDE)의 해를 구하는 연구가 활발히 진행되고 있다. 이는 기존의 수치 해석 방법들이 가지는 격자 생성의 어려움이나 고차원 문제에서의 차원의 저주 문제를 해결할 수 있는 잠재력을 보여준다. 신경망은 PDE 자체를 손실 함수에 포함시켜 학습함으로써, 경계 조건과 초기 조건을 만족하는 해를 근사적으로 찾아낸다. 이러한 접근 방식은 유체 역학, 재료 과학, 금융 공학 등 다양한 분야에서 응용되고 있다.

6. 이론적 연구

편미분 방정식(PDE)의 이론적 연구는 상미분 방정식(ODE)과 다른 특징을 가진다. 많은 ODE 입문 교과서가 일반 해 공식을 찾는 알고리즘을 목표로 하는 반면, 라플라스 방정식과 같은 많은 중요한 PDE는 그러한 일반 해 공식이 존재하지 않는다. 예를 들어, 3차원 라플라스 방정식

$\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2u}{\partial z^2}=0$

을 만족하는 조화 함수는 고전역학 등에서 중요하게 다루어지는데,

$u(x,y,z) = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 2x + y^2 + z^2 + 1}}$ 와 $u(x,y,z) = 2x^2 - y^2 - z^2$

는 모두 조화 함수이지만 매우 다른 형태를 가진다. 이는 라플라스 방정식의 해가 특정 공식의 특수한 경우가 아님을 보여준다.

PDE 해의 또 다른 특징은 해를 결정할 때 함수를 자유롭게 선택할 여지가 크다는 점이다. 예를 들어, 방정식

$\frac{\partial^2v}{\partial x\partial y}=0$

의 해는 임의의 함수 $f(x)$ 와 $g(y)$ 를 사용하여 $v(x, y) = f(x) + g(y)$ 형태로 나타낼 수 있다. 이는 ODE 해 공식에서 몇 개의 상수를 선택하는 것보다 훨씬 큰 자유도를 의미한다.

이러한 이유로 PDE 이론 연구에서는 존재성과 유일성 정리가 매우 중요한 역할을 한다. 이 정리는 주어진 조건(예: 경계 조건, 초기 조건)을 만족하는 해가 존재하는지, 존재한다면 유일한지를 밝혀준다. 이는 다양한 해 중에서 특정 해를 식별하고 이해하는 핵심적인 수단이며, 해의 정의역을 명확히 정의하는 것을 요구한다. 존재 및 유일성 정리는 수치 시뮬레이션을 수행할 때 어떤 데이터를 입력해야 하고 무엇을 계산해야 하는지 이해하는 데도 필수적이다. 이러한 해의 존재, 유일성 및 안정성에 대한 논의는 잘 정의된 문제라는 개념과 밀접하게 연관된다.

PDE의 종류에 따라 해의 존재 및 유일성 조건은 달라진다. 예를 들어,

단위 원판 $B$ 에서 라플라스 방정식 $\frac{\partial^2u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2u}{\partial y^2} = 0$ 의 해 $u$ 는 경계 $\partial B$ 에서의 연속 함수 값 $U$ 를 지정하면 유일하게 결정된다. 즉, 하나의 함수를 자유롭게 선택할 수 있다.
반면, 파동 방정식과 유사한 형태의 $\frac{\partial^2u}{\partial x^2} - \frac{\partial^2u}{\partial y^2} = 0$ 의 해 $u$ 는 초기 조건 $u(x, 0) = f(x)$ 와 $\frac{\partial u}{\partial y}(x, 0) = g(x)$ 를 지정하면 유일하게 결정된다. 즉, 두 개의 함수를 자유롭게 선택해야 한다.
미분 기하학에서 나타나는 비선형 PDE $\frac{\partial}{\partial x} \frac{\frac{\partial u}{\partial x}}{\sqrt{1 + (\frac{\partial u}{\partial x})^2 + (\frac{\partial u}{\partial y})^2}} + \frac{\partial}{\partial y} \frac{\frac{\partial u}{\partial y}}{\sqrt{1 + (\frac{\partial u}{\partial x})^2 + (\frac{\partial u}{\partial y})^2}}=0$ 의 해는 $u(x, y) = ax + by + c$ 형태로, 세 개의 상수 $a, b, c$ 만 자유롭게 선택할 수 있다.

순수 수학적 관점에서 PDE 이론 연구는 해의 구체적인 공식을 찾는 것보다는 해의 존재 조건과 해의 속성(예: 매끄러움, 점근적 행동 등)을 밝히는 데 더 중점을 두는 경우가 많다. 특히 해가 얼마나 매끄러운지를 다루는 정칙성 문제나, 고전적인 해를 찾기 어려울 때 도입하는 약한 해의 개념은 중요한 연구 주제이다. 이러한 연구는 함수 해석학, 소볼레프 공간 등의 수학적 도구를 활용하여 진행된다.

6. 1. 잘 정의된 문제 (Well-posedness)

편미분 방정식이 '''잘 정의된 문제'''(Well-posed problem)라고 하는 것은 해당 방정식이 다음 세 가지 조건을 만족한다는 것을 의미한다.^[1]

1. 해의 존재성(Existence): 해가 존재해야 한다. 즉, 주어진 조건을 만족하는 함수가 최소한 하나는 있어야 한다.

2. 해의 유일성(Uniqueness): 해가 유일해야 한다. 즉, 주어진 조건을 만족하는 함수가 오직 하나만 존재해야 한다. 편미분 방정식의 경우, 상미분 방정식과 달리 해의 형태가 매우 다양하게 나타날 수 있기 때문에, 특정 조건을 부여했을 때 해가 하나로 결정되는지 확인하는 것이 중요하다. 예를 들어, 어떤 경계 조건이나 초기 조건을 만족하는 해가 유일하게 존재하는지를 밝히는 존재성과 유일성 정리가 중요한 역할을 한다.

3. 해의 안정성 (연속적 의존성, Stability): 해가 주어진 조건에 대해 연속적으로 의존해야 한다. 이는 초기 조건이나 경계 조건과 같은 문제의 입력 데이터가 약간 변경되었을 때, 그 결과인 해도 약간만 변해야 한다는 의미이다. 만약 조건의 작은 변화가 해의 큰 변화를 야기한다면, 그 해는 불안정하며 물리적으로 의미를 가지기 어렵거나 수치적으로 다루기 힘들 수 있다.

수학적으로 의미있는 대부분의 편미분 방정식 문제, 특히 물리적 현상을 모델링하는 문제들은 잘 정의된 문제이다. 어떤 문제가 잘 정의되었다는 것은 그 문제의 해를 구하거나 분석하는 것이 의미가 있다는 기본적인 보증이 된다. 다만, '연속성'의 조건은 사용되는 함수 공간이나 노름에 따라 다양한 방식으로 정의될 수 있으므로, 어떤 의미에서 연속적인지를 명확히 할 필요가 있다.^[1] 일반적으로 편미분 방정식을 연구할 때는 해당 문제가 잘 정의되어 있는지를 먼저 고려하는 것이 일반적이다.

6. 2. 정칙성 (Regularity)

정칙성(Regularity)은 편미분 방정식의 약해(weak solution)가 실제로 얼마나 매끄러운지, 즉 얼마나 많이 미분 가능하고 적분 가능한지를 다루는 성질이다. 이는 종종 소볼레프 공간을 이용하여 표현된다.

편미분 방정식의 해를 직접 구하는 것은 어려울 때가 많다. 그래서 연구자들은 먼저 다루기 쉬운 약한 해를 찾고, 이 약한 해가 충분히 매끄러워서 고전적인 해(classical solution)로 볼 수 있는지를 확인하는 방식으로 연구를 진행하기도 한다. 이 과정에서 해의 정칙성을 따지는 것이 중요하다.

정칙성 연구에는 함수 해석학의 여러 결과들이 중요한 도구로 사용된다.

6. 3. 약한 해 (Weak Solution)

약한 해는 편미분 방정식을 만족하지만, 일반적인 의미의 해와는 다른 의미를 갖는 함수이다. 이 용어의 의미는 맥락에 따라 다를 수 있으며, 가장 일반적으로 사용되는 정의 중 하나는 분포의 개념을 기반으로 한다.

약한 해의 정의에 대한 한 예시는 다음과 같다.

다음과 같은 경계값 문제를 고려해 보자.

\begin{align}Lu&=f \quad\text{in }U,\\u&=0 \quad \text{on }\partial U,\end{align}

여기서

Lu=-\sum_{i,j}\partial_j (a^{ij}\partial_i u)+\sum_{i}b^{i}\partial_i u + cu

는 '''발산 형태'''(divergence form)의 2차 편미분 연산자를 나타낸다.

이때 소볼레프 공간

H_{0}^{1}(U)

에 속하는 함수

u

가 모든

v\in H_{0}^{1}(U)

에 대해 다음 적분 방정식을 만족하면

u

를 위 문제의 약한 해라고 한다.

\int_{U} [\sum_{i,j}a^{ij}(\partial_{i}u)(\partial_{j}v)+\sum_{i}b^i (\partial_{i}u) v +cuv]dx=\int_{U} fvdx

이 정의는 형식적인 부분 적분을 통해 유도될 수 있다.

약한 해의 예시는 다음과 같다. 함수

\phi(x)=\frac{1}{4\pi} \frac{1}

는 라플라스 방정식

\nabla^2 \phi=\delta

(여기서

\delta

는 디랙 델타 함수)를 3차원 공간

R^3

에서 분포의 의미에서 만족하는 약한 해이다. 형식적으로는, 모든 시험 함수

\psi\in C_{c}^{\infty}(R^3)

에 대해 다음이 성립한다.

\int_{R^3}\nabla^2 \phi(x)\psi(x)dx=\int_{R^3} \phi(x)\nabla^2 \psi(x)dx=\psi(0)

순수 수학의 한 분야로서 편미분 방정식 이론 연구는 해의 존재 조건이나 해의 속성 자체에 초점을 맞추는 경우가 많으며, 해의 구체적인 공식을 찾는 것은 부차적인 문제로 여겨지기도 한다.

편미분 방정식이 잘 정의되었다고 말하려면 다음을 만족해야 한다.

해의 존재성과 유일성 정리: 몇몇 자유롭게 선택된 함수를 명시함으로써 편미분 방정식의 특정한 해를 하나만 골라낼 수 있어야 한다.
연속성: 자유 선택을 연속적으로 변경했을 때, 해당하는 해도 연속적으로 변경되어야 한다.

"연속성"의 요구사항은 다양한 방식으로 엄밀하게 정의될 수 있어 다소 모호할 수 있지만, 잘 정의되는 방식을 명시하지 않고 편미분 방정식을 연구하는 것은 드물다.

정칙성(regularity)은 약한 해의 적분 가능성과 미분 가능성을 의미하며, 이는 종종 소볼레프 공간으로 표현될 수 있다. 고전적 해를 찾는 어려움 때문에, 연구자들은 종종 처음에 약한 해를 찾은 다음, 그 약한 해가 고전적 해로 간주될 만큼 충분히 매끄러운지(미분 가능한지) 여부를 확인하는 경향이 있다. 함수 해석학의 결과는 이 연구 분야에서 자주 사용된다.

7. 주요 편미분 방정식 예시

편미분 방정식은 일반적으로 많은 해를 가지며, 특정 해를 구하기 위해 경계 조건을 함께 고려하는 경우가 많다. 상미분 방정식의 해는 몇몇 파라미터 값으로 특정되는 하나의 족(family)을 이루지만, 편미분 방정식의 해는 파라미터가 함수값을 갖는 것으로 이해하는 것이 더 유용하다.

편미분 방정식은 자연 과학 분야에서 유체의 흐름, 중력장, 전자기장과 같은 장을 다루는 현상을 수학적으로 기술하는 모델로 널리 사용된다. 이러한 모델은 비행 시뮬레이션, 컴퓨터 그래픽스, 일기 예보 등 다양한 분야에서 중요한 도구로 활용된다. 또한, 일반 상대성 이론과 양자역학의 기본 방정식 역시 편미분 방정식 형태를 띤다. 경제학, 특히 금융 공학 분야에서도 편미분 방정식은 중요한 개념으로 다뤄진다.

편미분 방정식은 그 형태에 따라 선형과 비선형으로 나눌 수 있다. 많은 중요한 편미분 방정식은 주어진 선형 작용소 ''A''와 이미 알려진 함수 ''f''에 대해 ''A''ψ = ''f'' 형태로 표현되는 선형 방정식이다. 반면, 이러한 형태로 표현되지 않는 비선형 편미분 방정식도 존재하며, 대표적인 예로는 유체 역학의 나비에-스토크스 방정식, 일반 상대성 이론의 아인슈타인 장 방정식, 비선형 파동을 기술하는 KdV 방정식 등이 있다.

7. 1. 물리학

물리학 분야에서는 다양한 현상을 설명하기 위해 여러 편미분 방정식이 사용된다.

라플라스 방정식은 매우 중요하고 기본적인 편미분 방정식 중 하나이다.

:

\psi_{xx} + \psi_{yy} + \psi_{zz} = 0

위 식과 같은 타원형 편미분 방정식을 '''라플라스 방정식'''이라고 부른다. 이 방정식은 델 연산자(∇)나 라플라스 연산자(Δ)와 같은 미분 연산자를 사용하여 다음과 같이 표기하기도 한다.

:

{\nabla}^2 \psi = 0, \quad \Delta \psi = 0

라플라스 방정식의 해는 '''조화 함수'''라고 불리며, 중력장이나 정전기장과 같은 물리적인 벡터장의 포텐셜을 나타내는 데 사용된다.

라플라스 방정식은 알려진 함수 ''f'' (''x'', ''y'', ''z'')를 포함하는 형태로 일반화될 수 있다.

:

\nabla^2 \psi = \psi_{xx} + \psi_{yy} + \psi_{zz} = f(x,y,z)

이 편미분 방정식을 '''푸아송 방정식'''이라고 한다.^[14] 푸아송 방정식은 질량이 존재하는 중력장이나 전하가 존재하는 정전장처럼, 어떤 장에 발생원이 있는 경우의 전위를 설명하는 데 사용된다.

다음과 같은 형태의 방정식을 '''헬름홀츠 방정식'''이라고 한다.

:

(\nabla^2 + k^2) \psi = 0

이 방정식은 전자기파의 방사, 지진학, 음향학 등 다양한 물리 현상을 다룰 때 사용된다.

'''파동 방정식'''은 시간에 따라 변화하는 현상을 다루는 쌍곡형 편미분 방정식이다.

:

\psi_{tt} = c^2 \nabla^2 \psi = c^2 (\psi_{xx} + \psi_{yy} + \psi_{zz})

^[15]^[16] 이 방정식은 빛이나 음파와 같은 파동의 전파를 묘사하며, 여기서 상수 ''c''는 파동의 속도를 나타낸다. 우리에게 더 친숙한 현상인 현의 진동이나 북 표면의 진동 등도 이 방정식으로 설명할 수 있다. 파동 방정식의 해는 기본적으로 정현파들을 중첩하여 얻을 수 있다.

'''열 방정식''' 또는 '''열확산 방정식'''은 주어진 영역에서 시간에 따라 온도나 농도 등이 어떻게 변화하는지를 기술하는 포물형 편미분 방정식이다.

:

u_t = k\nabla^2\psi = k (\psi_{xx} + \psi_{yy} + \psi_{zz})

여기서 ψ는 예를 들어 온도를 나타내는 온도장(열전도 방정식)이나 물질의 농도를 나타내는 농도장(피크의 제2법칙) 등을 의미한다. 상수 ''k''는 물질의 열전도율이나 확산 계수 등을 나타내는 값이다. 열 방정식의 해는 시간이 지남에 따라 점차 균일하게 분포하는 형태로 변화하며, 시간이 무한히 흐르면(''t''→∞) 조화 함수에 가까워진다.

'''슈뢰딩거 방정식'''은 양자역학의 기본 원리를 설명하는 핵심적인 편미분 방정식이다.^[17]

이 외에도 물리학에서는 다음과 같은 중요한 편미분 방정식들이 사용된다.

7. 2. 유체 역학

유체의 움직임을 기술하는 대표적인 편미분 방정식으로는 나비에-스토크스 방정식이 있다. 이 방정식은 일반적으로 해를 구하기 어려운 비선형 편미분 방정식으로 분류된다.

7. 3. 상대성 이론

일반 상대성 이론에서 중요한 비선형 편미분 방정식으로 아인슈타인 장 방정식이 있다.

7. 4. 비선형 파동

주어진 선형 작용소 ''A''와 기지 함수 ''f''에 대해 ''A''ψ = ''f'' 형태로 표현되지 않는 비선형 편미분 방정식 중에서 비선형 파동 현상을 기술하는 중요한 방정식들은 다음과 같다.

비선형 파동을 기술하는 KdV 방정식·mKdV 방정식 (이러한 방정식들은 적분 가능계에서도 연구되고 있다.)
클레로 방정식
비선형 슈뢰딩거 방정식

8. 한국의 편미분 방정식 연구

한국에서도 편미분 방정식은 다양한 수학, 과학, 공학 분야에서 중요한 연구 주제로 다루어지며 활발한 연구가 진행되고 있다. 특히 다음과 같은 분야에서 이론 및 응용 연구가 두드러진다.

유체역학: 나비에-스토크스 방정식과 같이 유체 운동을 설명하는 편미분 방정식의 해의 존재성, 유일성, 정칙성 등에 대한 수학적 분석 연구가 활발하다. 또한, 전산 유체 역학(CFD) 분야에서는 효율적인 수치 해법 개발 연구가 중요하다.
금융공학: 블랙-숄즈 방정식과 같이 파생상품의 가격을 결정하는 모델 연구에 편미분 방정식이 활용된다. 복잡한 금융 시장을 모델링하고 예측하기 위한 새로운 방정식 개발 및 분석 연구가 이루어지고 있다.
영상 처리 및 컴퓨터 비전: 영상의 잡음 제거, 분할, 복원 등의 문제를 편미분 방정식 기반의 모델로 해결하려는 연구가 진행 중이다. 예를 들어, 레벨셋 방법이나 총변동 최소화(Total Variation Minimization) 기법 등이 활용된다.
재료과학: 재료의 미세 구조 변화, 상변화, 균열 전파 등을 모델링하고 시뮬레이션하는 데 편미분 방정식이 사용된다. 새로운 재료의 특성을 예측하고 설계하는 데 기여한다.
생물학 및 의학: 종양 성장 모델, 전염병 확산 모델, 신경 신호 전달 모델 등 생명 현상을 수학적으로 기술하고 분석하는 데 편미분 방정식이 응용된다.

국내 여러 대학교의 수학과, 응용수학과 및 관련 공학 분야 학과들과 고등과학원(KIAS) 같은 연구 기관에서 편미분 방정식 연구를 활발히 수행하고 있다. 대한수학회 등 관련 학회를 통한 국내외 연구자들과의 교류 및 학술 활동도 활발하며, 이는 한국의 기초과학 및 응용과학 발전에 중요한 역할을 한다. 최근에는 인공지능 기술을 편미분 방정식의 해를 구하거나 분석하는 데 접목하려는 연구도 시도되고 있다.

참조

_[1] 웹사이트 Regularity and singularities in elliptic PDE's: beyond monotonicity formulas {{!}} EllipticPDE Project {{!}} Fact Sheet {{!}} H2020 https://cordis.europ[...] 2024-02-05
_[2] 서적 Visions in Mathematics Birkhäuser
_[3] 서적 Dispersive Partial Differential Equations: Wellposedness and Applications https://www.cambridg[...] Cambridge University Press 2016
_[4] 간행물 Partial Differential Equations Princeton University Press
_[5] 웹사이트 Classification of Second-Order Equations https://web.stanford[...]
_[6] 문서 Courant and Hilbert (1962), p.182.
_[7] 서적 The nature of mathematical modeling https://archive.org/[...] Cambridge University Press 2000
_[8] 서적 The Mathematics of Financial Derivatives https://books.google[...] Cambridge University Press
_[9] 서적 An Introduction to Nonlinear Partial Differential Equations John Wiley & Sons
_[10] 서적 Solving Frontier problems of Physics: The decomposition method https://books.google[...] Kluwer Academic Publishers
_[11] 서적 Beyond Perturbation: Introduction to the Homotopy Analysis Method Chapman & Hall/ CRC Press
_[12] 서적 Partial Differential Equations and the Finite Element Method J. Wiley & Sons
_[13] 서적 Higher-Order Finite Element Methods Chapman & Hall/CRC Press
_[14] 서적 数理物理学の方法東京図書
_[15] 서적 弾性体と流体岩波書店
_[16] 서적 振動・波動論講義―物理実験を取り入れてコロナ社
_[17] 서적 シュレーディンガー方程式I, II (朝倉数学大系) 朝倉書店
_[18] 서적 Navier–Stokes Equations: Theory and Numerical Analysis ACM Chelsea Publishing
_[19] 서적 Korteweg-de Vries and Nonlinear Schrödinger Equations: Qualitative Theory Springer
_[20] 서적 The Nonlinear Schrödinger Equation (1999) -Self-Focusing and Wave Collapse- Springer
_[21] 서적 The Nonlinear Schrödinger Equation -Singular Solutions and Optical Collapse- Springer
_[22] 서적 フーリエ解析岩波書店
_[23] 서적 直接法によるソリトンの数理岩波書店
_[24] 서적 Numerical solution of partial differential equations: finite difference methods Oxford university press
_[25] 서적 Finite difference schemes and partial differential equations SIAM
_[26] 서적 有限要素法とその応用岩波書店
_[27] 서적 有限要素法概説 [新訂版] サイエンス社
_[28] 서적 有限要素法の数理培風館
_[29] 서적 偏微分方程式の数値解析岩波書店
_[30] 서적 偏微分方程式の数値解法共立出版
_[31] 서적 偏微分方程式の数値シミュレーション東京大学出版会

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